Question

【題目】在□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，CE與BF相交于點(diǎn)H．

（1）求證：四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）□ABCD應(yīng)滿足什么條件時(shí)，四邊形EHFG是矩形？并說明理由；

（3）□ABCD應(yīng)滿足什么條件時(shí)，四邊形EHFG是正方形？（不要說明理由）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）AB=2AD且∠BAD=90°.

【解析】（1）通過證明兩組對(duì)邊分別平行，可得四邊形EHFG是平行四邊形；

（2）當(dāng)AB=2AD時(shí)，先證明四邊形ADFE是菱形，得出AF⊥DE，∠EGF＝90°，從而證明平行四邊形EHFG為一個(gè)矩形；

（3）由（2）可知只要GE=GF時(shí)矩形EHFG是正方形，則可知需要AF=DE，即需要證明菱形ADEF是正方形，由此可知需要∠EAD=90°，據(jù)此即可確定□ABCD應(yīng)滿足的條件.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥CF，AB=CD，

∵E是AB中點(diǎn)，F是CD中點(diǎn)，

∴AE=CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴AF∥CE．

同理可得DE∥BF，

∴四邊形FGEH是平行四邊形；

（2）AB=2AD，理由如下：連接EF，

∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，且AB＝CD，

∴AE＝DF，且AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

∴AD＝EF，

又∵AB＝2AD，E為AB中點(diǎn)，則AB＝2AE，

∴AE＝AD，

∴四邊形AEFD為菱形，

∴AF⊥DE，∠EGF＝90°，

∴平行四邊形EHFG是矩形；

（3）AB=2AD且∠BAD=90°，理由如下：

由（2）可知當(dāng)AB=2AD時(shí)，四邊形EHFG是矩形，四邊形AEFD是菱形，

∵∠BAD=90°，∴菱形AEFD是正方形，

∴AF=DE，ED=2EG，AF=2GF，

∴GE=GF，

∴矩形EHFG是正方形.