Question

【題目】將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，

①求菱形的邊長；

②求折痕EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①5；②2．

【解析】

（1）根據折疊的性質得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，再利用AD∥AC得到∠FAC＝∠ECA，則可根據“ASA”判斷△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根據菱形的判定方法得到四邊形AECF為菱形；

（2）①設菱形的邊長為x，則BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，在Rt△ABE中，根據勾股定理得（8﹣x）2+42＝x2，然后解方程即可得到菱形的邊長；

②先在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AC＝4，則OA＝AC＝2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理計算出OE＝，所以EF＝2OE＝2．

（1）∵矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕為EF，

∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，

∵AD∥AC，

∴∠FAC＝∠ECA，在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE，

∴OF＝OE，

∵OA＝OC，AC⊥EF，

∴四邊形AECF為菱形；

（2）①設菱形的邊長為x，則BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2＝AE2，

∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，

即菱形的邊長為5；

②在Rt△ABC中，AC＝＝4，

∴OA＝AC＝2，

在Rt△AOE中，AE＝5，

OE＝＝，

∴EF＝2OE＝2．