Question

【題目】如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在OA上的點D處，已知折痕CE=5,且4AE=3AD.

①判斷△OCD與△ADE是否相似，請說明理由。

②求直線CE與x軸的交點P的坐標。

③是否存在過點D的直線l，使直線l與兩坐標軸圍成的三角形與直線CE與兩坐標軸圍成的三角形相似，如果存在，請求出其解析式，如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】①相似，證明詳見解析；②P（16，0）；③存在，;;y=-2x+12;

【解析】

（1）運用同角的余角相等得到∠CDO=∠DEA即可證明相似,

（2）由△OCD∽△ADE求出OA,OD之間的關系,再在直角三角形CBE中勾股定理即可解題,

（3）分情況討論,當△ODM∽△OPC時和當△OMD∽△OPC由比例式得到M的坐標即可求解.

解：①由對稱性得∠CDE=∠B=90°

∴∠CDO+∠EDA=90°

∴∠CDO=∠DEA

∵∠COD=∠DAE=90°

∴△OCD∽△ADE

②設AE=3x

∵tan∠EDA=

∴AD=4x,DE=5x

∴AB=8x=OC

∵由△OCD∽△ADE

∴

∴OD=6x

∴OA=10x

∵CE2=CB2+BE2

∴（5）2=（10x）2+（5x）2

∴x=1

∴OA=10=CB，OC=AB=8，AE=3

∴C（0，8） E（10，3） D（6，0）

設直線CE的解析式為y=kx+b

∴

∴

∴，

令y=0,解得：x=16,

∴與x軸交點P的坐標是（16，0）

③存在,

當DM∥CP時

△ODM∽△OPC

∴

∴OM=3

∴M（0，3）

∴

由對稱性 M1（0，-3）

∴

當∠OMD=∠OPC時

△OMD∽△OPC

∴

∴OM=12

∴M2（0，12）

∴y=-2x+12

由對稱性M3（0，-12）

∴