Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉得到△ADE，連接BD，CE交于點F．
（1）求證：△AEC≌△ADB；
（2）若AB=2，∠BAC=45°，當四邊形ADFC是菱形時，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：由旋轉的性質得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）

解：∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45°，

∴∠DBA=∠BAC=45°，

由（1）得：AB=AD，

∴∠DBA=∠BDA=45°，

∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形，

∴BD2=2AB2，即BD=2 ，

∴AD=DF=FC=AC=AB=2，

∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2

【解析】（1）由旋轉的性質得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可；
　　　　（2）根據∠BAC=45°，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45°，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD﹣DF求出BF的長即可．此題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，以及菱形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解本題的關鍵．