Question

如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一點，交CB的延長線于點F，聯結DF，分別交AE、AB于點G、P.

（1）求證：AE=AF；

（2）若∠BAF=∠BFD,求證：四邊形APED是矩形.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析

【解析】

試題分析：

（1）若要證明AE=AF，則可證明以上兩條線段所在的三角形全等即可；

（2）利用正方形的性質以及垂直定義得出∠1=∠3=∠4=∠5，進而利用全等三角形的判定與性質得出AP=DE，進而利用平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可．

試題解析：

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

在△ADE和△ABF中，

∠DAE＝∠BAF ，AD＝AB ，∠ADE＝∠ABF＝90°，

∴△ADE≌△ABF（ASA），

∴AF=AE；

（2）∵AF⊥AE，

∴∠1+∠2=90°，

∵∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵AD∥FC，

∴∠4=∠5，

∵∠1=∠5，

∴∠1=∠3=∠4=∠5，

在△ADE和△DAP中，

∠3＝∠4 ，AD＝AD ，∠ADE＝∠DAP ，

∴△ADE≌△DAP（ASA），

∴AP=DE，

又∵AP∥DE，

∴四邊形APED是平行四邊形，

∵∠PAD=90°，

∴平行四邊形APED是矩形．

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定．