Question

【題目】對于給定的兩個函數和，我們把叫做這個兩個函數的積函數，把直線和叫做拋物線的母線．

（1）直接寫出函數和的積函數；

（2）點在(1)中的拋物線上，過點垂直于軸的直線分別交此拋物線的母線于兩點（點不重合），設點的橫坐標為，求時的值；

（3）已知函數和．

①當它們的積函數自變量的取值范圍是，且當時，這個積函數的最大值是8，求的值以及這個積函數的最小值；

②當它們的積函數自變量的取值范圍是時，直接寫出這個積函數的圖象在變化過程中最高點的縱坐標與之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①3，-7，②當時，；當時，；當時，；當時，

【解析】

（1）利用積函數的定義直接得出結論，最后令y=0，解方程即可求出與x軸的交點坐標；

（2）設出點P的坐標，進而表示出點M，N的坐標，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出結論；

（3）①先確定出積函數，利用此函數的增減性，判斷出x=2時，y最大求出n，最后將x=-1代入拋物線解析式即可確定出最小值；

②分三種情況，自變量范圍內的圖象全在對稱軸左側，或右側或對稱軸介于自變量的分之內，最后用函數增減性，代入即可得出結論．

解：（1）∵函數和，

∵函數和的積函數為.

（2）由（1）知，拋物線解析式為，設，

∵函數和，

∴，

∴

，

∵

∴，

∴ （此時點和重合，舍去）或；

（3）①∵函數和，

∴函數為和積函數為，

∵積函數自變量的取值范圍是，且當時，這個積函數的最大值是8，

∴當時，，

∴，

∴積函數的解析式為，

當時，.

②由①知，積函數的解析式為，

∴此積函數的對稱軸為直線，且對稱軸左側隨的增大而增大，對稱軸右側隨增大而減小，

∵積函數自變量的取值范圍是，

Ⅰ.當時，即，

此時，當時，最高點的縱坐標與之間的函數關系式

Ⅱ.當時，即，

此時，當時，最高點的縱坐標與之間的函數關系式；

Ⅲ.當時，即，

此時，當時，最高點的縱坐標與之間的函數關系式.