Question

【題目】我們曾學過定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對的角為”.如圖，在中，，如果，那么.

請你根據上述命題，解決下面的問題：

（1）如圖1，，為格點，以為圓心，長為半徑畫弧交直線于點，則______；

（2）如圖2，、為格點，按要求在網格中作圖（保留作圖痕跡）。

作，使點在直線上，并且，.

（3）如圖3，在中，，，為內一點，，于，且.

①求的度數；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）30；（2）見解析；（3）①30°；②見解析.

【解析】

（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC=AB=2CF，即可推出∠CAB=30°．
（2）以D為圓心，DF長為半徑畫弧交直線a于點G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．
（3）①根據AC=2CE，推出∠CAE=30°．
②作DH⊥BC，想辦法證明BH=CH即可解決問題．

（1）如圖1中，作CF⊥AB于F．
由作圖可知：AC=AB=2CF，
∴∠CAB=30°，
故答案為30．

（2）如圖△DEF即為所求．
（3）①∵CE⊥AD于E，且CE=AC
∴∠CAD=30°
②作DH⊥BC于H．

∵∠AEC=90°，∠CAE=30°
∴∠ACE=60°，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠DCF=∠DCH=15°，
∵∠CED=∠CHD=90°，CD=CD，
∴△CDE≌△CDH（AAS），
∴CE=CH=AC=BC，
∴BH=CH，∵DH⊥BC，
∴DB=DC．