Question

【題目】某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等．

（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？

（2）現在商城準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，總利潤不低于13000元，請分析合理的方案共有多少種？并確定獲利最大的方案以及最大利潤；

（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）問中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】（1）每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元；

（2）合理的方案共有7種；當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元；

（3）當50＜k＜100時，購進電冰箱40臺，空調60臺銷售總利潤最大；當0＜k＜50時，購進電冰箱34臺，空調66臺銷售總利潤最大；當k=50時，每種進貨方案的總利潤都一樣．

【解析】

試題分析：（1）由題意設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，，根據商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等列方程，解方程.

（2）題目有三個要求，總利潤不低于13000元，購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，和現實意義冰箱空調的數量必須取整數，根據這三個要求，逐一考慮，利潤=單件的利潤（售價-進價）×數量，總利潤=電冰箱的利潤+空調的利潤，得到y關于x的一次函數，根據第二個要求列出不等式，在一二兩個要求的范圍內找到整數解.

（3）電冰箱出產價下調的k元，就是每臺電冰箱利潤增加k元，依據題意求出總利潤y關于x的一元一次函數，由函數解析式及一次函數的性質可知，總利潤的最大值由k-50的正負性決定，在此分三種情況討論.

試題解析：（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據題意得：，解得：x=1600，經檢驗，x=1600是原方程的解，x+400=1600+400=2000，

答：每臺空調的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元．

（2）設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y=（2100﹣2000）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=﹣50x+15000，根據題意得：，解得：，∵x為正整數，∴x=34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7種，即①電冰箱34臺，空調66臺；②電冰箱35臺，空調65臺；③電冰箱36臺，空調64臺；④電冰箱37臺，空調63臺；⑤電冰箱38臺，空調62臺；⑥電冰箱39臺，空調61臺；⑦電冰箱40臺，空調60臺；

∵y=﹣50x+15000，k=﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，

∴當x=34時，y有最大值，最大值為：﹣50×34+15000=13300（元），

答：當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元．

（3）當廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，

則利潤y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，

當k﹣50＞0，即50＜k＜100時，y隨x的增大而增大，∵，∴當x=40時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱40臺，空調60臺；

當k﹣50＜0，即0＜k＜50時，y隨x的增大而減小，∵，∴當x=34時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進電冰箱34臺，空調66臺；

當k=50時，每種進貨方案的總利潤都一樣；

答：當50＜k＜100時，購進電冰箱40臺，空調60臺銷售總利潤最大；當0＜k＜50時，購進電冰箱34臺，空調66臺銷售總利潤最大；當k=50時，每種進貨方案的總利潤都一樣．