Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（t，0）作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限，AB=4，直線OB：y1=kx（k為常數(shù)）．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求k的值；

（2）經(jīng)過O，A兩點(diǎn)作拋物線y2=ax（x﹣t）（a為常數(shù)，a＞0），直線OB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

①用含a，t的式子表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；

②當(dāng)t≤x≤t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而減小；當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=2；（2）當(dāng)t≤x≤t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而減小；當(dāng)x≥t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大時(shí)，a與t的關(guān)系式a=（t≥4）．

【解析】分析：（1）找出當(dāng)t=2時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入直線OB:y1=kx中即可；
（2）①用t表示出直線OB的關(guān)系式，令y1=y2,即可用含a，t的式子表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
②找出的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)為一個(gè)開口向下的拋物線，結(jié)合給定條件能夠得知，拋物線的對(duì)稱軸不超過，且拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(t+4,0).由此可得出a與t的關(guān)系式并能知道t的取值范圍．

詳解：(1)當(dāng)t=2時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，

∵經(jīng)過點(diǎn)A(t,0)作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限，AB=4，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4).

∵點(diǎn)B在直線OB:y1=kx(k為常數(shù))上，

∴有4=2k，解得：k=2.

(2)①點(diǎn)B(t,4)在直線OB:y1=kx上，

∴有4=kt,解得：

∴

令y1=y2,即

解得：x=0或者

故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)

②

∵a>0，

∴a<0，函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)圖象大體如下圖：

∵當(dāng)時(shí),的值隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí), 的值隨x的增大而增大，

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸在x=t的左側(cè)或者重合,而且二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(t+4,0).

∵

∴有

解得：

二次函數(shù)對(duì)稱軸 即

∵at=1，

∴

故當(dāng)時(shí),的值隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí), 的值隨x的增大而增大時(shí),a與t的關(guān)系式().