Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF.

(1)四邊形AFCD是什么特殊的四邊形?請說明理由.

(2)填空:

①若AB=AC，則四邊形AFCD是_______形.

②當△ABC滿足條件______時，四邊形AFCD是正方形.

Answer 1

【答案】(1)平行四邊形，理由見解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．

【解析】

（1）由“AAS”可證△AEF≌△DEB，可得AF=BD=CD，由平行四邊形的判定可得四邊形AFCD是平行四邊形；
（2）①由等腰三角形的性質可得AD⊥BC，可證平行四邊形AFCD是矩形；
②由等腰直角三角形的性質可得AD=CD=BD，AD⊥BC，可證平行四邊形AFCD是正方形．

解：(1)平行四邊形

理由如下:∵AF∥BC

∴∠AFE=∠DBE，

在ΔAFE與△DBE中

∴ΔAFE≌ΔDBE

∴AF=BD，

又BD=CD

∴AF=CD

又AF∥CD

∴四邊形AFCD是平行四邊形；

（2）①∵AB=AC，AD是BC邊上的中線
∴AD⊥BC，且四邊形AFCD是平行四邊形
∴四邊形AFCD是矩形；
②當△ABC滿足AB=AC，∠BAC=90°條件時，四邊形AFCD是正方形．
理由為：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線
∴AD=CD=BD，AD⊥BC
∵四邊形AFCD是平行四邊形，AD⊥BC
∴四邊形AFCD是矩形，且AD=CD
∴四邊形AFCD是正方形．
故答案為：(1)平行四邊形，理由見解析； (2)①矩形，②AB=AC，∠BAC=90．