Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線的頂點M的坐標為（﹣1，﹣4），且與x軸交于點A，點B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．

（1）填空：b= ，c= ，直線AC的解析式為 ；

（2）直線x=t與x軸相交于點H．

①當t=﹣3時得到直線AN（如圖1），點D為直線AC下方拋物線上一點，若∠COD=∠MAN，求出此時點D的坐標；

②當﹣3＜t＜﹣1時（如圖2），直線x=t與線段AC，AM和拋物線分別相交于點E，F，P．試證明線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值為，求此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）2，﹣3，y=﹣x﹣3；（2）①D（，）；②t=．

【解析】

試題分析：（1）根據頂點坐標列出關于b、c的方程組求解可得，由拋物線解析式求得A、C坐標，利用待定系數法可得直線AC解析式；

（2）①設點D的坐標為（m，），由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出關于m的方程求解可得；②求出直線AM的解析式，進而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的長度，根據等腰三角形定義即可判定；由等腰三角形底角的余弦值為可得=，列方程可求得t的值．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點M的坐標為（﹣1，﹣4），∴，解得：，∴拋物線解析式為：，令y=0，得：，解得：，，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x=0，得y=﹣3，∴C（0，﹣3），設直線AC的解析式為：y=kx+b，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3；故答案為：2，﹣3，y=﹣x﹣3．

（2）①設點D的坐標為（m，），∵∠COD=∠MAN，∴tan∠COD=tan∠MAN，∴，解得：m=，∵﹣3＜m＜0，∴m=，故點D的坐標為（，）；

②設直線AM的解析式為y=mx+n，將點A（﹣3，0）、M（﹣1，﹣4）代入，得：，解得：，∴直線AM的解析式為：y=﹣2x﹣6，∵當x=t時，HE=﹣（﹣t﹣3）=t+3，HF=﹣（﹣2t﹣6）=2t+6，HP=，∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=，∵HE+EF﹣FP==＞0，∴HE+EF＞FP，又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，∴當﹣3＜t＜﹣1時，線段HE，EF，FP總能組成等腰三角形；

由題意得：=，即=，整理得：，解得：， ，∵﹣3＜t＜﹣1，∴t=．