Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則下列判斷：

①當AP=BP時，AB′∥CP；

②當AP=BP時，∠B′PC=2∠B′AC

③當CP⊥AB時，AP=；

④B′A長度的最小值是1．

其中正確的判斷是 （填入正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

試題分析：①∵在△ABC中，∠ACB=90°，AP=BP，∴AP=BP=CP，∴∠B=∠BPC=（180°﹣∠APB′），由折疊的性質可得：CP=B′P，∠CPB′=∠BPC=（180°﹣∠APB′），∴AP=B′P，∴∠AB′P=′B′AP=（180°﹣∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP；故①正確；

②∵AP=BP，∴PA=PB′=PC=PB，∴點A，B′，C，B在以P為圓心，PA長為半徑的圓上，∵由折疊的性質可得：BC=B′C，∴，∴∠B′PC=2∠B′AC；故②正確；

③當CP⊥AB時，∠APC=∠ACB，∵∠PAC=∠CAB，∴△ACP∽△ABC，∴，∵在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC===4，∴AP==；故③錯誤；

④由軸對稱的性質可知：BC=CB′=3，∵CB′長度固定不變，∴當AB′+CB′有最小值時，AB′的長度有最小值．

根據兩點之間線段最短可知：A．B′、C三點在一條直線上時，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故④正確．

故答案為：①②④．