Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使∠DPG=∠DAC，且過D作DG⊥PG，連接CG，則CG最小值為( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，作DH⊥AC于H，連接HG延長(zhǎng)HG交CD于F，作HE⊥CD于H．證明△ADP∽△DHG，推出∠DHG＝∠DAP＝定值，推出點(diǎn)G在射線HF上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)CG⊥HE時(shí)，CG的值最小，想辦法求出CG即可．

如圖，作DH⊥AC于H，連接HG延長(zhǎng)HG交CD于F，作HE⊥CD于H．

∵DG⊥PG，DH⊥AC，

∴∠DGP＝∠DHA，

∵∠DPG＝∠DAH，

∴△ADH∽△PDG，

∴，∠ADH＝∠PDG，

∴∠ADP＝∠HDG，

∴△ADP∽△DHG，

∴∠DHG＝∠DAP＝定值，

∴點(diǎn)G在射線HF上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)CG⊥HE時(shí)，CG的值最小，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADH+∠HDF＝90°，

∵∠DAH+∠ADH＝90°，

∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，

∴FD＝FH，

∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，

∴∠FHC＝∠FCH，

∴FH＝FC＝DF＝3，

在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，

∴AC＝＝5，DH＝，

∴CH＝，

∴EH＝，

∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，

∴△CGF≌△HEF（AAS），

∴CG＝HE＝，

∴CG的最小值為，

故選：D．