Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y1＝kx+b經過點P（2，2）和點Q（0，﹣2），與x軸交于點A，與直線y2＝mx+n交于點P．

（1）求出直線y1＝kx+b的解析式；

（2）求出點A的坐標；

（3）直線y2＝mx+n繞著點P任意旋轉，與x軸交于點B，當△PAB是等腰三角形時，點B有幾種位置？請你分別求出點B的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y1＝2x﹣2；（2）A（1，0）；（3）點B有4種位置使得△PAB為等腰三角形，坐標分別為（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）

【解析】

（1）利用待定系數法確定函數解析式；

（2）令y＝0，可求解；

（3）對于本題中的等腰△PAB的腰不確定，需要分類討論：以PA為底和PA為腰．由兩點間的距離公式和方程思想解答．

解：（1）把P（2，2）和點Q（0，﹣2）分別代入y1＝kx+b，得．

解得．

則直線y1＝kx+b的解析式為：y1＝2x﹣2；

（2）∵直線y1＝2x﹣2與x軸交于點A，

∴當y＝0時，0＝2x﹣2

∴x＝1，

∴點A（1，0）；

（3）解：過點P作PM⊥x軸，交于點M，

由題意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1

當m＞0時，點B有3種位置使得△PAB為等腰三角形

①當AP＝AB時，AB＝，

∴B（+1，0）

②當PA＝PB時，AB＝2AM＝2，

∴B（3，0）

③當BA＝BP時，設AB＝x，由等面積法可得S△ABP＝×2x＝××，

解得x＝2.5，

∴B（3.5，0）

當m＜0時，點B有1種位置使得△PAB為等腰三角形．

當AB＝AP時，OB＝﹣1，

∴B（1﹣，0）．

綜上所述，點B有4種位置使得△PAB為等腰三角形，坐標分別為（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．