Question

【題目】如圖，點是線段上除外任意一點，分別以、為邊在線段的同旁作等邊和等邊，連接交于，連接交于，連接.

（1）求證：；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.

【解析】

出現兩個等邊三角形證全等時，往往要考慮兩個三角形的公共角.

證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，

∵∠DCA=∠ECB=60°，

∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，

∵

∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=BD；

(2)△MNC是等邊三角形．理由如下：

∵由（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM=∠CDN，

∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點共線，

∴∠DCN=60°，

在△ACM與△DCN中，
∵

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴MC=NC，

∵∠MCN=60°，

∴△MCN為等邊三角形．

∴∠MCA=∠CMN=60°，

∴MN∥AB.