Question

【題目】閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中點，AE、DE分別平分∠DAB、∠CDA．求證：AD＝AB+CD．

小明經探究發現，在AD上截取AF＝AB，連接EF（如圖2），從而可證△AEF≌△AEB，使問題得到解決．

（1）請你按照小明的探究思路，完成他的證明過程；

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

（2）如圖3，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，點D為邊AC上任意一點（不與點A、B重合），以BD為腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°．過點E作BE⊥EG交BA的延長線于點G，過點D作DF⊥BD，交BC于點F，連接FG，猜想EG、DF、FG之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）猜想EG＝DF+FG，理由見解析.

【解析】

（1）如圖2，作輔助線EF,使AB=AF,構建全等三角形，△AEF≌△AEB，△DEF≌△DEC，得出FD=CD,從而得出結論；（2）猜想EG＝DF+FG，在EG上截取EH＝DF，連接BH，根據已知條件證明 △BEH≌△BDF，找出∠ABH＝45°，再證明△BGH≌△BGF，即可得出結論.

（1）證明；在AD上截取AF＝AB，連接EF，如圖2所示：

∵AE、DE分別平分∠DAB、∠CDA，

∴∠BAE＝∠FAE，∠CDE＝∠FDE，

在△AEF和△AEB中，，

∴△AEF≌△AEB（SAS），

∴∠AFE＝∠B＝90°，

∴∠DFE＝90°，

在△DEF和△DEC中，，

∴△DEF≌△DEC（AAS），

∴FD＝CD，

∵AD＝AF+FD，

∴AD＝AB+CD；

（2）解：猜想EG＝DF+FG，理由如下：

在EG上截取EH＝DF，連接BH，如圖3所示：

∵BE⊥EG，DF⊥BD，

∴∠BEH＝∠BDF＝90°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴BE＝BD，∠EBD＝90°，

在△BEH和△BDF中，，

∴△BEH≌△BDF（SAS），

∴BH＝BF，∠EBH＝∠DBF，

∴∠EBH+∠HBD＝∠DBF+∠HBD，

∴∠EBH＝∠HBC＝90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠ABH＝45°，

在△BGH和△BGF中，，

∴△BGH≌△BGF（SAS），

∴GH＝GF，

∵EG＝EH+GH，

∴EG＝DF+FG．