Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A（1，4）、B（﹣3，0），過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，在x軸上有一點(diǎn)D（4，0），連接CD．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得CD平分∠ACQ，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在直線CD的下方的拋物線上取一點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NG∥y軸交CD于點(diǎn)G，以NG為直徑畫圓在直線CD上截得弦GH，問弦GH的最大值是多少？

（4）一動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿C﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)，在線段CD上還有一動(dòng)點(diǎn)M，問是否存在某一時(shí)刻使PM+AM=4？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線CE的表達(dá)式為y=﹣x﹣；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（3）弦GH的最大值；（4）存在，t的值為3或7

【解析】

（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)可得出AC、AD的長，取點(diǎn)E（﹣1，0），連接CE交拋物線于點(diǎn)Q，則四邊形ACED為菱形，由點(diǎn)C、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線CE的表達(dá)式，聯(lián)立直線CE與拋物線表達(dá)式成方程組，通過解方程組即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線CD的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x2+3x），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，﹣x+2），進(jìn)而可得出NG=﹣x2﹣x+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出NG的最大值，以NG為直徑畫⊙O′，取GH的中點(diǎn)F，連接O′F，則O′F⊥BC，通過解直角三角形可得出GH=NG，代入NG的最大值即可求出弦GH的最大值；

（4）取點(diǎn)E（﹣1，0），連接CE、AE，過點(diǎn)E作EP1⊥AC于點(diǎn)P1，交CD于點(diǎn)M1，過點(diǎn)E作EP2⊥AD于點(diǎn)P2，交CD于點(diǎn)M2，由AC∥x軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出EP1=4，由菱形的對(duì)稱性可得出EP2=4，根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出CP1、DP2的長度，再結(jié)合AC、AD的長即可求出t的值，此題得解．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)A（1，4）、B（﹣3，0），

∴ ，解得：a=1,b=3,

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+3x．

（2）當(dāng)y=4時(shí)，有x2+3x=4，

解得：x1=﹣4，x2=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，4），

∴AC=1﹣（﹣4）=5．

∵A（1，4），D（4，0），

∴AD=5．

取點(diǎn)E（﹣1，0），連接CE交拋物線于點(diǎn)Q，如圖1所示．

∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC∥DE，

∴四邊形ACED為平行四邊形，

∵AC=AD，

∴四邊形ACED為菱形，

∴CD平分∠ACQ．

設(shè)直線CE的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），

將C（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直線CE的表達(dá)式為y=﹣x﹣．

聯(lián)立直線CE與拋物線表達(dá)式成方程組，得： ，

解得： ，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．

（3）設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+c（k≠0），

將C（﹣4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：

，解得： ，

∴直線CD的表達(dá)式為y=﹣x+2．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，x2+3x），則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，﹣x+2），

∴NG=﹣x+2﹣（x2+3x）=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，

∵﹣1＜0，

∴當(dāng)x=﹣時(shí)，NG取最大值，最大值為．

以NG為直徑畫⊙O′，取GH的中點(diǎn)F，連接O′F，則O′F⊥BC，如圖2所示．

∵直線CD的表達(dá)式為y=﹣x+2，NG∥y軸，O′F⊥BC，

∴tan∠GO′F==，

∴，

∴GH=2GF= O′G=NG，

∴弦GH的最大值為×=．

（4）取點(diǎn)E（﹣1，0），連接CE、AE，過點(diǎn)E作EP1⊥AC于點(diǎn)P1，交CD于點(diǎn)M1，過點(diǎn)E作EP2⊥AD于點(diǎn)P2，交CD于點(diǎn)M2，如圖3所示．

∵四邊形ACED為菱形，

∴點(diǎn)A、E關(guān)于CD對(duì)稱，

∴AM=EM．

∵AC∥x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），

∴EP1=4．

由菱形的對(duì)稱性可知EP2=4．

∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0），

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣1，4），

∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，

又∵AC=AD=5，

∴t的值為3或7．