Question

【題目】M是正方形ABCD的邊AB上一動點（不與A，B重合），BP⊥MC，垂足為P，將∠CPB繞點P旋轉，得到∠C’PB’，當射線PC’經過點D時，射線PB’與BC交于點N．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：△BPN∽△CPD；

（3）在點M的運動過程中，圖中是否存在與BM始終保持相等的線段？若存在，請寫出這條線段并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BM=BN．

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）由旋轉性質知∠BPN=∠CPD，再由∠PCD+∠BCP=∠PBN+∠BCP=90°知∠PCD=∠PBN，從而得證；

（3）先證△MPB∽△BPC得，再由△PBN∽△PCD知，從而得，根據BC=CD可得答案．

（1）補全圖形如圖所示；

（2）證明：由旋轉可得∠BPN=∠CPD．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°．

∴∠PCD+∠BCP=90°．

∵BP⊥MC，

∴∠CPB=90°．

∴∠PBC+∠PCB=90°．

∴∠PBC=∠PCD．

∴△PBN∽△PCD．

（3）答：BM=BN．

證明：∵BP⊥CM，∠MBC=90°，

∴∠MBP=∠MCB．

∴△MPB∽△BPC．

∴．

由（2）可知△PBN∽△PCD．

∴．

∴．

∵BC=CD，

∴BM=BN．