Question

（2012•仙居縣二模）如圖，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一個動點，連接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半徑為2，則△ABC面積的最大值是（　　）

• A．3

  3

• B．2

  3

• C．

  3

  2

  3

• D．

  3

Answer 1

分析：過C作CM⊥AB于M，要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，畫出CM，求出等邊三角形ABC，求出AB和CM，關鍵三角形的面積公式求出即可．

解答：解：過C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已確定，
∴要使△ACB的面積最大，只要CM取最大值即可，
如圖所示，當CM過圓心O時，CM最大，
∵CM⊥AB，CM過O，
∴AM=BM（垂徑定理），
∴AC=BC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
設AB=BC=AC=a，
則AM=BM=

1

2

a，由勾股定理得：CM=

3

2

a，
在Rt△OBM中，OB=2，OM=

3

2

a-2，bm=

1

2

a，由勾股定理得：（

3

2

a-2）²+（

1

2

a）²=2²，
a=2

3

，
即AB=2

3

，CM=3，
則△ABC的面積是

1

2

×AB×CM=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
故選A．

點評：本題考查了等邊三角形的性質和判定，三角形的面積，勾股定理，垂徑定理等等知識點的綜合運用．