Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，連接AC，A（3，0），AC＝3．

（1）求拋物線的函數解析式，并直接寫出頂點坐標；

（2）點P是第四象限內拋物線上一點，過點P作PQ⊥AC于Q，直接寫出當線段PQ長度最大時，點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（1，﹣4）；（2）t＝時，PQ的長最大，此時P點坐標為（，﹣）．

【解析】

（1）先利用勾股定理得到OC＝3，則C（0，﹣3），然后利用待定系數法求拋物線解析式；再把一般式化為頂點式得到拋物線頂點坐標；

（2）作PG∥y軸交AC于G，如圖，設P（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），易得直線AC的解析式為y＝x﹣3，則G（t，t﹣3），所以PG＝t2+3t＝﹣（t）2，再證明△PGQ為等腰直角三角形得到PQPG═（t）2，然后根據二次函數的性質解決問題．

（1）∵A（3，0），∴OA＝3，∴OC3，∴C（0，﹣3）；

把A（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得：，解得：，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線頂點坐標為（1，﹣4）；

（2）作PG∥y軸交AC于G，如圖，設P（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），易得直線AC的解析式為y＝x﹣3，∴G（t，t﹣3），∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t＝﹣（t）2．

∵OA＝OC＝3，∴△OAC為等腰直角三角形，∴∠OCA＝45°．

∵PG∥OC，∴∠PGC＝45°．

∵PQ⊥AC，∴△PGQ為等腰直角三角形，∴PQPG═（t）2，當t時，PQ的長最大，此時P點坐標為（）．