Question

【題目】在正方形ABCD的外側，作△ADE和△DCF，連接AF、BE．(友情提醒：正方形的四條邊都相等，即AB＝BC＝CD＝DA；四個內角都是90°，即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°)

（1）如圖①，若△ADE和△DCF是等邊三角形，求證：AF＝BE，AF⊥BE；

（2）如圖②，若△ADE和△DCF為一般三角形，其中AE＝DF，ED＝FC，則第（1）問中的結論仍然成立嗎?若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）成立，證明見詳解

【解析】

（1）根據正方形的性質、等邊三角形的性質以及全等三角形的判定定理證明△BAE≌△ADF，根據全等三角形的性質得出結論；

（2）根據邊邊邊定理證明△EAD≌△FDC．根據邊角邊定理證明△BAE≌△ADF．則BE=AF，∠ABE=∠DAF，與（1）的證明方法相似，可得結論．

解：（1）AF=BE；AF⊥BE．
理由如下：如圖①所示：

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD，
∵△ADE和△DCF是等邊三角形，
∴∠DAE=∠CDF=60°，AE=AD，DF=CD，
∴AE=DF，∠BAE=∠ADF=150°，
在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE；
故答案為：AF=BE，AF⊥BE．

（2）所畫圖形如圖②，第（1）問的結論成立，理由如下：

②
在△AED和△DFC中，

∴△AED≌△DFC（SSS），
∴∠EAD=∠FDC．
∴∠BAD+∠EAD=∠ADC+∠FDC．即∠BAE=∠ADF．
在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF=BE，
∴∠ABE=∠DAF．
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AF⊥BE．