Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，，以為頂點的拋物線經過點，交y軸于點，動點在對稱軸上．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點從點出發，沿方向以1個單位/秒的速度勻速運動到點停止，設運動時間為秒，過點作交于點，過點平行于軸的直線交拋物線于點，連接，當為何值時，的面積最大？最大值是多少？

（3）若點是平面內的任意一點，在軸上方是否存在點，使得以點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出符合條件的點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，其最大值為10；（3）①；②點或或

【解析】

（1）將點的坐標代入二次函數表達式即可求出b,c，即可求出解析式，再求出A點坐標；

（2）先求出直線AC的表達式，設點，則點，得點，利用求出t的關系式，再根據二次函數性質進行求解；

（3）設點，點，根據①當是菱形一條邊時，②當是菱形一對角線時，分別利用菱形的性質進行列式求解.

解：（1）將點的坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：，

則點；

（2）將點的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線的表達式為：，

點，則點，設點，

，

∵，故有最大值，當時，其最大值為10；

（3）設點，點，

①當是菱形一條邊時，

當點在軸下方時，

點向右平移3個單位、向下平移3個單位得到，

則點平移3個單位、向下平移3個單位得到，

則，，

而得：，

解得：，

故點；

當點在軸上方時，

同理可得：點；

②當是菱形一對角線時，

則中點即為中點，

則，，

而，即，

解得：，

故，，

故點；

綜上，點或或．