Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，與直線相交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？存在的話，求出其最大值和此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的所有坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，﹣1）或或．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求解可得；
(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(m，)，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，)，求得DE關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)分點(diǎn)D在DE上方和下方兩種情況，用的代數(shù)式表示出DE的長(zhǎng)度，依據(jù)DE=2得出關(guān)于的方程，解之可得

(1)把點(diǎn)A(1，0)、B(4，0)代入，得：

，

解得，

∴拋物線的解析式是；

(2)存在．

對(duì)于二次函數(shù)，

令，則，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t，

把點(diǎn)B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：

，

解得，

∴；

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∴，

∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE取最大值2，

此時(shí)，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，﹣1)；

(3)①當(dāng)D在E下方時(shí)，

由(2)得：，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，

∴OC＝2，

∵OC∥DE，

∴當(dāng)DE＝OC時(shí)，四邊形OCED為平行四邊形，

則，

解得m＝2，

此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，﹣1)；

②當(dāng)D在E上方時(shí)，，

同理，當(dāng)DE＝OC時(shí)，四邊形OCED為平行四邊形，

即，

解得，

∴此時(shí)或，

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2，﹣1)或或時(shí)，都可以使O，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．