Question

【題目】已知：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E為BC中點，CF⊥AE于F．

（1）求證：4CE2=BDAB；

（2）若2∠DCF=∠ECF，求cos∠ECF的值；

（3）如圖2，DF延長線交BC于G，若AC=BC，EG=1，則DG=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）利用兩組對應角分別相等的兩個三角形相似可得△BCA∽△BDC，由相似三角形對應線段成比例的性質可得結論；

（2）過B作BG⊥BC交AE的延長線于G，在AE上取H，使HA=HB，利用ASA可證△ACE≌GBE，由全等三角形的性質及等腰三角形的性質可得BH=BG=HA，設AH=BH=BG=a，HE=b，作MB⊥HG，可用含的代數式表示出EG、HM和MG，由射影定理可得的關系式，根據cos∠ECF=cos∠G=計算即可；

（3）連接DE，延長DG、AC相交于H，由等腰三角形“三線合一”的性質及三角形中位線的性質可得DE=AC，等量代換可得GC長，易知EC長，由等腰直角三角形的性質可得DE長，由勾股定理即可求出DG長.

解：（1）∵CD⊥AB于D，

∴∠BDC=∠ACB=90°．

∵∠DBC=∠ACB，

∴△BCA∽△BDC，

∴，

即BC2=BDAB．

∵E為BC中點，

∴BC=2CE，

∴4CE2=BDAB；

（2）如圖1，過B作BG⊥BC交AE的延長線于G，在AE上取H，使HA=HB．

∵∠BEG=∠AEC，∠EBG=∠ACE=90°，BE=EC，

∴△ACE≌GBE(ASA)，

∴∠G=∠EAC，BG=AC，

∵CD⊥AB于D，CF⊥AE于F，

∴∠DCF=∠DAF，∠ECF=∠FAC=∠G，

∴∠BFG=2∠DAC=∠FAC=∠G，

∴BH=BG=HA．

設AH=BH=BG=a，HE=b，

作MB⊥HG，則MH=MG，EG=a+b，HM=MG=b+a，

由射影定理可得，∴，

解得：a=(負值已舍)，∴．

（3）如圖2，連接DE，延長DG、AC相交于H，

由射影定理知．

∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD，

∴DE∥AH，

∴DE=AC，，，，

，即，

∴DE=CH，

，

，

，

∴EG=GC，

∴GC=2，

EC=3=BE=DE，

在中，根據勾股定理得DG=，

∴DG=．

故答案為：．