Question

【題目】如圖，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O點，則下列結論：①CF=BE；②∠COB=120°；③OA平分∠FOE；④OF=OA+OB．其中正確的有_____．

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

結合等邊三角形△ABF和△ACE的性質，利用SAS可證△ABE≌△AFC，由全等三角形的性質可知①正確；由三角形內角和為180度易求∠BOC的度數，可知②正確；連接AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q，由S△ABE=S△AFC可知AP=AQ，利用HL定理可證，易知OA平分∠FOE，所以③正確；在OF上截取OD=OB，利用SAS可證△FBD≌△ABO，由全等三角形對應邊相等易得OF= OA+OB，故④正確.

解：∵△ABF和△ACE是等邊三角形，

∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，

∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠FAC=∠BAE，

在△ABE與△AFC中，

，

∴△ABE≌△AFC(SAS)，

∴BE=FC，∠AEB=∠ACF，故①正確；

∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO，∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB，

∴∠BOC=180°﹣∠CON=120°，故②正確；

連接AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q，如圖1，

∵△ABE≌△AFC，∴S△ABE=S△AFC，∴CFAP=BEAQ，∵CF=BE，∴AP=AQ，

，∴OA平分∠FOE，所以③正確；

如圖2，在OF上截取OD=OB，

∵∠BOF=60°，∴△OBD是等邊三角形，∴BD=BO，∠DBO=60°，∴∠FBD=∠ABO．

∵BF=AB，∴△FBD≌△ABO(SAS)，∴DF=OA，∴OF=DF+OD=OA+OB，故④正確．

故答案為：①②③④．