Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點C，D．

（1）求直線和拋物線的表達式；

（2）動點P從點O出發，在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；

（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在點N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、、．（3）N點坐標為（﹣2，﹣2），M點坐標為（﹣，﹣），.

【解析】（1）利用待定系數法求解可得；

（2）先求得點D的坐標，過點D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質逐一求解可得；

（3）通過作對稱點，將折線轉化成兩點間距離，應用兩點之間線段最短．

（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，

得，

解得：，

∴拋物線解析式為：y=，

∵過點B的直線y=kx+，

∴代入（1，0），得：k=﹣，

∴BD解析式為y=﹣；

（2）由得交點坐標為D（﹣5，4），

如圖1，過D作DE⊥x軸于點E，作DF⊥y軸于點F，

當P1D⊥P1C時，△P1DC為直角三角形，

則△DEP1∽△P1OC，

∴=，即=，

解得t=，

當P2D⊥DC于點D時，△P2DC為直角三角形

由△P2DB∽△DEB得=，

即=，

解得：t=；

當P3C⊥DC時，△DFC∽△COP3，

∴=，即=，

解得：t=，

∴t的值為、、．

（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，

在拋物線上取點D的對稱點D′，過點D′作D′N⊥EF于點N，交拋物線對稱軸于點M

過點N作NH⊥DD′于點H，此時，DM+MN=D′N最小．

則△EOF∽△NHD′

設點N坐標為（a，﹣），

∴=，即=，

解得：a=﹣2，

則N點坐標為（﹣2，﹣2），

求得直線ND′的解析式為y=x+1，

當x=﹣時，y=﹣，

∴M點坐標為（﹣，﹣），

此時，DM+MN的值最小為==2．