Question

18．已知x=$\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}}$（a＞0），那么$\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$+$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$=a．

Answer 1

分析 根據x的值得出x²的值，計算1-x²的值，代入代數式利用分母有理化進一步將分式變形即可．

解答 解：∵x=$\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}}$（a＞0），
∴x²=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}$，
∴1-x²=1-$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}$=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}$，
∴$\frac{x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$+$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，
=$\frac{{x}^{2}+1-{x}^{2}}{x\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
=$\frac{1}{\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}•\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2a}}}}$，
=$\frac{1}{\sqrt{\frac{{a}^{2}-{a}^{2}+4}{4{a}^{2}}}}$，
=a．
故答案為：a．

點評 此題考查了二次根式的化簡求值和分母有理化，有難度，與分式相結合，熟練掌握分式和二次根式運算法則是解本題的關鍵．