Question

如圖1所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線經過A、C兩點，點B是拋物線與x軸的另一個交點，當時，y取最大值.

（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設點P是直線AC上一點，且，求點P的坐標；
（3）若直線與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點，問:
①是否存在a的值，使得∠MON=90⁰？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
②猜想當∠MON＞90⁰時，a的取值范圍（不寫過程，直接寫結論）.
（參考公式：在平面直角坐標系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M，N兩點間的距離為）

Answer 1

（1）（2）或（3）①存在②當時，∠MON＞90⁰。

解：（1）∵當時，取最大值，
∴ ，解得。
∴拋物線的解析式為。
令，解得 ，∴A（－3，0），B（2，0）。
令x=0，得，∴C（0，6）。
將A、C的坐標代入，得
，解得。
∴直線AC的解析式為。
（2）分兩種情況：
①點P在線段AC上時，過P作PH⊥x軸，垂足為H，

∵，∴。
∵PH∥CP，∴△APH∽△ACO。
∴，即。
∴�！�。
∴。
②點P在線段CA的延長線上時，過P作PG⊥x軸，垂足為G，     

∵，∴。
∵PG∥CO，∴△APG∽△ACO。
∴，即。
∴。∴。
∴。
綜上所述，點P的坐標為或。
（3）①存在。
假設存在a的值，使直線與（1）中所求的拋物線交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點（M在N的左側），使得∠MON=90⁰，
由得。
∴。
又，，
∴。
∵∠MON=90⁰，∴。
∴�！�。
∴，即，解得或。
∴存在或使得∠MON=90⁰。
②當時，∠MON＞90⁰。
（1）根據當時，取最大值列式求出b、c，從而得到拋物線的解析式；由拋物線的解析式得到A，C的坐標，由待定系數法求出直線AC的解析式。
（2）分點P在線段AC上和兩種情況討論即可。
（3）①應用一元二次方程根與系數的關系和勾股定理求解。
②如圖，

當或時，∠MON=90⁰；
當或時，∠MON＜90⁰；
當時，∠MON＞90⁰。