Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點M在CD邊上，點N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN＝90°，CM＝MN．連接AN，CN，取AN的中點E，連接BE，AC，交于F點．

（1） ①依題意補全圖形；

②求證：BE⊥AC．

（2）請探究線段BE，AD，CN所滿足的等量關系，并證明你的結論．

（3）設AB＝1，若點M沿著線段CD從點C運動到點D，則在該運動過程中，線段EN所掃過的面積為______________（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②證明見解析；（2）2BE＝AD＋CN，證明見解析；（3）.

【解析】（1）①依照題意補全圖形即可；②連接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性質可得出∠ACD=∠MCN=45°，從而得出∠ACN=90°，再根據直角三角形的性質以及點E為AN的中點即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在線段AC的垂直平分線上，由此即可證得BE⊥AC；

（2）BE=AD+CN．根據正方形的性質可得出BF=AD，再結合三角形的中位線性質可得出EF=CN，由線段間的關系即可證出結論；

（3）找出EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．根據正方形以及等腰直角三角形的性質可得出BD∥CN，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由AB=1，可算出線段CF、DF、CN的長度，利用梯形的面積公式即可得出結論．

（1）①依題意補全圖形，如圖1所示．

②證明：連接CE，如圖2所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，AB=BC，

∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，

∵∠CMN=90°，CM=MN，

∴∠MCN=45°，

∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．

∵在Rt△ACN中，點E是AN中點，

∴AE=CE=AN．

∵AE=CE，AB=CB，

∴點B，E在AC的垂直平分線上，

∴BE垂直平分AC，

∴BE⊥AC．

（2）BE=AD+CN．

證明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，

∴AF=FC．

∵點E是AN中點，

∴AE=EN，

∴FE是△ACN的中位線．

∴FE=CN．

∵BE⊥AC，

∴∠BFC=90°，

∴∠FBC+∠FCB=90°．

∵∠FCB=45°，

∴∠FBC=45°，

∴∠FCB=∠FBC，

∴BF=CF．

在Rt△BCF中，BF2+CF2=BC2，

∴BF=BC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=AD，

∴BF=AD．

∵BE=BF+FE，

∴BE=AD+CN．

（3）在點M沿著線段CD從點C運動到點D的過程中，線段EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．

∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，

∴BD∥CN，

∴四邊形DFCN為梯形．

∵AB=1，

∴CF=DF=BD=，CN=CD=，

∴S梯形DFCN=（DF+CN）CF=（+）×=．