Question

【題目】已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交于點C，與x軸的兩個交點分別為A（﹣4，0），B（1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標；

（3）已知點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣；（2）存在，滿足條件的P點坐標為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；（3）滿足條件的點E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．

【解析】試題分析：（1）因為拋物線經過點A（﹣4，0），B（1，0），所以可以設拋物線為y=﹣（x+4）（x﹣1），展開即可解決問題；

（2）先證明∠ACB=90°，點A就是所求的點P，求出直線AC解析式，再求出過點B平行AC的直線的解析式，利用方程組即可解決問題；

（3）分AC為平行四邊形的邊，AC為平行四邊形的對角線討論即可解決問題．

試題解析：解：（1）拋物線的解析式為y=﹣（x+4）（x﹣1），即；

（2）存在．當x=0， =2，則C（0，2），∴OC=2，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴OA=4，OB=1，AB=5，當∠PCB=90°時，∵AC2=42+22=20，BC2=22+12=5，AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴當點P與點A重合時，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時P點坐標為（﹣4，0）；

當∠PBC=90°時，PB∥AC，如圖1，設直線AC的解析式為y=mx+n，把A（﹣4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，∴直線AC的解析式為y=x+2，∵BP∥AC，∴直線BP的解析式為y=x+p，把B（1，0）代入得+p=0，解得p=﹣，∴直線BP的解析式為y=x﹣，解方程組： 得： 或，此時P點坐標為（﹣5，﹣3）；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣4，0），P2（﹣5，﹣3）；

（3）存在點E，設點E坐標為（m，0），F（n， ），分三種情況討論：

①當AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時E1坐標（﹣7，0）；

②當AC為邊時，AC∥EF，易知點F縱坐標為﹣2，∴ =﹣2，解得n= ，得到F2（，﹣2），F3（，﹣2），根據中點坐標公式得到： = 或 =，解得m=或，此時E2（，0），E3（，0）；

③當AC為對角線時，AE4=CF1=3，此時E4（﹣1，0）．

綜上所述滿足條件的點E為（﹣7，0）或（﹣1，0）或（，0）或（，0）．