Question

如圖，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2，sinB=，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連結AP．

（1）求、的長；
（2）設的長為，的面積為．當為何值時，最大并求出最大值．

Answer 1

(1)2，4；（2）2，1.

解析試題分析：（1）在Rt△ABC中，根據∠B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的長；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，也就求出AD的表達式，進而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關于y、x的函數關系式，根據所得函數的性質，可求出y的最大值及對應的x的值．
試題解析：（1）在Rt△ABC中，， ， 
得 ，
∴AC=2，
根據勾股定理得：BC=4；
（2）∵PD∥AB，
∴△ABC∽△DPC，
∴；
設PC=x，則， ，
∴
∴當x=2時，y的最大值是1．
考點：1.二次函數的最值；2.勾股定理；3.相似三角形的判定與性質.