Question

【題目】如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的直線交BC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，且∠A=∠PDB．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）如圖2，點(diǎn)M是 的中點(diǎn)，連接DM，交AB于點(diǎn)N，若tan∠A= ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)OD；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；

又∵OA=OB=OD，

∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；

又∵∠A=∠PDB，

∴∠PDB+∠BD0=90°，

即∠PDO=90°，且D在圓上，

∴PD是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)OM，過(guò)D作DF⊥AB于F；

∵點(diǎn)M是 的中點(diǎn)，

∴OM⊥AB；設(shè)BD=x，

∵tan∠A= = ，

∴AD=4x；由勾股定理得：

AB= = x；由三角形的面積公式得： ADBD= ABDF，

∴DF= x，

∵OM∥DF，

∴△OMN∽△FDN，

∴ = = ．

【解析】（1）連結(jié)OD；由AB是⊙O的直徑，得到ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圓上，于是得到結(jié)論；（2）連結(jié)OM，過(guò)D作DF⊥AB于F；由點(diǎn)M是 的中點(diǎn)，得到OM⊥AB；設(shè)BD=x，根據(jù)已知條件得到AD=4x；由勾股定理得到AB= = x；根據(jù)三角形的面積公式解方程得到DF= x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．