Question

【題目】如圖，拋物線C1：y1=tx2﹣1（t＞0）和拋物線C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1（h≥1）．

（1）兩拋物線的頂點A、B的坐標分別為和；
（2）設拋物線C2的對稱軸與拋物線C1交于點N，則t為何值時，A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
（3）設拋物線C1與x軸的左交點為點E，拋物線C2與x軸的右邊交點為點F，試問，在第（2）問的前提下，四邊形AEBF能否為矩形？若能，求出h值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，1）；（h，1）
（2）

解：∵AM∥BN，

∴當AM=BN時，A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

∵當x=h時，y1=1，y2=tx2﹣1=th2﹣1，

∴PN=|1﹣（th2﹣1）\=|2﹣th2|．

①當點B在點A的下方時，4h2﹣2=th2﹣2，∵h2≠0，∴t=4；

②當點B在點A的上方時，4h2﹣2=2﹣th2，整理，得t+4= ，

∵t＞0時，t+4＞4；當h≥1時， ≤4，

∴這樣的t值不存在，

答：當點B在點A的下方時，t=4，當點B在點A的上方時不存在

（3）

解：由（2）可知，二次項系數互為相反數，

∴兩拋物線的形狀相同，故它們成中心對稱，

∵點A和點B的縱坐標的絕對值相同，

∴兩拋物線得對稱中心落在x軸上．

∵四邊形AEBF是平行四邊形，

∴當∠EAF=90°時，四邊形AFBE是矩形，

∵拋物線C1與x軸左交點坐標是（﹣ ，0），

∴OE= ．

∵拋物線C2與x軸右交點坐標是（h+ ，0）且h≥1，

∴OF=h+ ．

∵∠FAO+∠EAO=90°，∠EAO+AEO=90°，

∴∠FAO=∠AEO，

又∵∠FOA=∠EOA=90°，

∴△AEO∽△FAO， =

∴OA2=OEOF，即 （h+ ）=1，解得h= ＞1，

∴四邊形AEBF能為矩形，且h的值為

【解析】解：（1）拋物線C1：y1=tx2﹣1的頂點坐標是（0，﹣1），
拋物線C2：y2=﹣4（x﹣h）2+1的頂點坐標是（h，1），
所以答案是：（0，﹣1），（h，1）；