Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F．
（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．

Answer 1

（1）證明：當∠AOF=90°時，
∵∠BAO=∠AOF=90°，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF為平行四邊形．

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
在△AOF和△COE中

∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE

．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF=EC．

（3）四邊形BEDF可以是菱形．
理由：如圖，連接BF，DE
由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，
∴EF與BD互相平分．
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．
在Rt△ABC中，AC=

( 5 )2-1

=

5-1

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．