Question

【題目】如圖，把矩形ABCD沿AC折疊，使點D與點E重合，AE交BC于點F，過點E作EG∥CD交AC于點G，交CF于點H，連接DG．

（1）求證：四邊形ECDG是菱形；

（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）根據折疊的性質，鄰邊相等的平行四邊形為菱形證得結論；

（2）如圖，連接交于點，構造相似三角形，由該相似三角形的對應邊成比例求得，可求的長，的長，通過證明可得的長，即可求的值.

解：（1）由折疊可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG．

∵EG∥CD，

∴∠DCG＝∠EGC，

∴∠EGC＝∠ECG，

∴EG＝EC，

∴EG＝DC，且EG∥CD

∴四邊形ECDG是平行四邊形．

∵EG＝EC，

∴平行四邊形ECDG是菱形

（2）如圖，連接ED交AC于點O，

∵四邊形ECDG是菱形，

∴ED⊥AC，，CD＝GE＝6＝DG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴△DCO∽△ACD，

∴，

∴DC2＝OCAC，

設OC＝x，則CG＝2x，，

∴36＝x（2x+），

解得，（不合題意，舍去），

∴，，

∵EG∥CD，CD⊥BC，

∴EG⊥BC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，且∠GHC＝∠ADC＝90°，

∴△ADC∽△CHG，

∴，

∴GH＝，

∵EH＝EG﹣GH，

∴EH＝6﹣＝.