Question

【題目】定義：在一個三角形中，若存在兩條邊x和y，使得y＝x2，則稱此三角形為“平方三角形”，x稱為平方邊．

（1）“若等邊三角形為平方三角形，則面積為是　 　命題；“有一個角為30°且有一條直角邊為2的直角三角形是平方三角形”是　 　命題；（填“真”或“假”）

（2）若a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，若三角形中存在一個角為60°，求c的值；

（3）如圖，在△ABC中，D是BC上一點．

①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求證，△ABC是平方三角形；

②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）真，假；（2）c的長為4或1+；(3)①見解析；②tan∠DAB＝

【解析】

（1）①根據平方三角形的定義，求出等邊三角形的邊長即可判斷．②分兩種情形分別判斷即可．

（2）為a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，三角形中存在一個角為60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能為60°，不妨設∠B＝60°，BC＝2，分兩種情形：如圖1中，①當c＝a2時．②如圖2中，當b＝a2＝4時，作CH⊥AB于H．求出AB即可．

（3）①證明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性質即可解決問題．

②如圖4中，作DH⊥AB于H．利用相似三角形的性質求出DH，AH即可解決問題．

解：（1）∵等邊三角形為平方三角形，

∴根據平方三角形的定義可知：等邊三角形的邊長為1，

∴等邊三角形的面積＝，

∴①是真命題．

當直角三角形中，30°所對的直角邊為2時，斜邊為4，滿足平方三角形的定義，

當直角三角形中，和30°相鄰的直角邊是2時，不是平方三角形，

故②是假命題，

故答案為真，假．

（2）因為a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，三角形中存在一個角為60°，

只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能為60°，不妨設∠B＝60°，BC＝2，

如圖1中，①當c＝a2時，∵a＝2，

∴c＝22＝4．

如圖2中，當b＝a2＝4時，作CH⊥AB于H．

在Rt△BCH中，∵∠B＝60°，∠CHB＝90°，BC＝2，

∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，

在Rt△ACH中，AH＝＝，

∴c＝AB＝BH+AH＝1+，

綜上所述，c的長為4或1+．

（3）①如圖3中，

∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，

∴△CAD∽△CBA，

∴＝，

∴AC2＝CDCB，

∵CD＝1，

∴AC2＝BC，

∴△ABC是平方三角形．

②如圖4中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝m，BC＝CD+BD＝1+n，

∴AB＝，

∵DH⊥AB，

∴∠DHB＝90°，

∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠C＝90°，

∴△BHD∽△BCA，

∴ ，

∴ ，

∴DH＝，BH＝，

∴AH＝﹣，

∴tan∠DAB＝＝＝．