Question

【題目】如圖，∠ABC＝90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，點F是AE的中點，FD、AB的延長線相交于點M，連接MC．

(1)求證：∠FMC＝∠FCM；

(2)將條件中的AD⊥DE與(1)中的結論互換，其他條件不變，命題是否正確？請給出理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）(2)正確．理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質，得出DF⊥AE，DF=AF=EF，再證明△DFC≌△AFM，得出FC=FM；

（2）根據等腰三角形的判定，得出FM＝FC，再根據等腰三角形的性質，可得MF⊥AC，進而證得△AMF≌△DCF(ASA)，最后由全等三角形的性質和直角的關系可證.

(1)證明：∵AD＝DE，點F是AE的中點，

∴MF⊥AC，∴∠AMF＋∠MAF＝90°.

∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＋∠MAF＝90°，

∴∠AMF＝∠ACB.

∵AD⊥DE，AD＝DE，

∴△ADE為等腰直角三角形，∠DAF＝45°.

又∵MF⊥AC，∴∠DFA＝90°，

∴∠ADF＝180°－∠DFA－∠DAF＝45°，

∴∠ADF＝∠DAF，∴FA＝FD.

在△FAM和△FDC中，

∠AMF=∠DCF，∠AFM=∠DFC，FA＝FD，

∴△FAM≌△FDC(AAS)，

∴FM＝FC，∴∠FMC＝∠FCM.

(2)解：正確．理由如下：∵∠FMC＝∠FCM，∴FM＝FC.

∵AD＝DE，點F是AE的中點，∴MF⊥AC，

∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∠AMF＋∠MAC＝90°.

又∵∠MAC＋∠DCF＝90°，

∴∠AMF＝∠DCF.

在△AMF和△DCF中，

∠AMF＝∠DCF，FM＝FC，∠AFM＝∠DFC，

∴△AMF≌△DCF(ASA)，

∴AF＝DF.

又∵∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠ADF＝45°.

又∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAF＝45°，

∴∠ADE＝180°－∠DAF－∠DEA＝90°，

∴AD⊥DE.