Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為4，點是△ABC的中心，，的兩邊與分別相交于，繞點順時針旋轉時，下列四個結論正確的個數是（ ）

①；②；③；④周長最小值是9.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，利用全等三角形的對應邊相等可對①進行判斷；再利用S =S 得到四邊形ODBE的面積= S ，則可對③進行判斷，然后作OH⊥DE，則DH=EH，計算出S = OE，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對②進行判斷，

接下來由△BDE的周長=BC+DE=4+DE=4+OE，結合垂線段最短，當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，計算出此時OE的長則可對④進行判斷.

連接OB，OC，如圖.

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°.

∵點O是△ABC的中心，

∴OB=OC，OB. OC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，

∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，

而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，

∴∠BOD=∠COE.

在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE，BO=CO，∠OBD=∠OCE，

∴△BOD≌△COE，

∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；

∴S =S ，

∴四邊形ODBE的面積=S = S =× ×4 = ，所以③正確；

作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，

∵∠DOE=120°，

∴∠ODE=∠OEH=30°．

∴OH=OE，HE=OH= OE，

∴DE= OE，

∴S△ODE= ··OE· OE= OE，

即S 隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，

∴S≠S ，所以②錯誤；

∵BD=CE，

∴△BDE的周長=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+ OE，

當OE⊥BC時，OE最小，△BDE的周長最小，此時OE= ，

∴△BDE周長的最小值=4+2=6，所以④錯誤.

故選：B.