Question

【題目】如圖，Rt△OAB的直角邊OA在x軸上，邊OB在y軸上，A的坐標為(6，0)，B的坐標為(0，3)，在第一象限有一點C的坐標為(3，4)．

（1）求直線AB的函數表達式；

（2）P是x軸上一動點，點P在運動過程中，是否存在某個位置，使得∠PBO＝∠BOC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若動點P在x軸上從點(﹣6，0)出發，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，過點P作直線l垂直于x軸，設運動時間為t．請直接寫出當t為何值時，在直線l上存在點M，在直線AB上存在點Q．使得以OC為一邊，O，C，M，Q為頂點的四邊形為菱形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，或，；（3）1或9或或．

【解析】

（1）利用待定系數法直接求出直線的解析式；

（2）分點在軸負半軸時，先求出直線的解析式，再判斷出平行于，進而求出的解析式，即可得出點的坐標，點在軸正半軸時，利用對稱性，即可得出結論；

（3）分以與為鄰邊和以與為鄰邊時，先求出點的坐標，利用平移的性質得出點的坐標，即可得出結論．

解：（1）設直線的解析式為，

點，在直線上，

，

，

直線的解析式為；

（2）如圖1，

當點在軸負半軸上時，

點，

直線的解析式為，

，

，

，

直線的解析式為，

令，則，

，

，，

當點在軸正半軸上時，

由對稱性知，，，

即點的坐標為，或，；

（3）如圖2，

由（1）知，直線的解析式為，

，

，

設，

①以與為鄰邊時，，

，

或，

，，

點向左平移個單位到點，

，

點也向左平移5個單位得到點，

，

點向右平移個單位，再向下平移個單位到點，

點也向右平移3個單位，再向下平移4個單位得到點，

，

②以與為鄰邊時，，

，

或，

，，，，

點向左平移個單位，再向上平移個單位到點，，

點也向左平移個單位，再向上平移個單位到點，，

，

點向右平移個單位，再向上個單位到，

點也向右平移個單位，再向上平移個單位到點，，

，

即的值為1或9或或．