Question

（2012•大興區二模）已知二次函數y=ax²+bx+2，它的圖象經過點（1，2）．
（1）如果用含a的代數式表示b，那么b=

-a

；
（2）如圖所示，如果該圖象與x軸的一個交點為（-1，0）．
①求二次函數的表達式，并寫出圖象的頂點坐標；
②在平面直角坐標系中，如果點P到x軸與y軸的距離相等，則稱點P為等距點．求出這個二次函數圖象上所有等距點的坐標．
（3）當a取a₁，a₂時，二次函數圖象與x軸正半軸分別交于點M（m，0），點N（n，0）．如果點N在點M的右邊，且點M和點N都在點（1，0）的右邊．試比較a₁和a₂的大小．

Answer 1

分析：（1）直接將點（1，2）代入拋物線的解析式中，即可得到a、b間的關系式．
（2）①已知拋物線圖象上的兩點坐標，且只有兩個待定系數，利用待定系數法求解即可．
②P到x軸、y軸的距離相等，那么P點必在直線y=x或y=-x上，這兩條直線與拋物線的交點，即為符合條件的等距點．
（3）首先根據（1）的結論，用a表示出函數的解析式，然后分別將M、N的坐標代入拋物線的解析式中，分別用m、n表示出a₁、a₂，通過做差可比較出a₁、a₂的大小．

解答：解：（1）將（1，2）代入y=ax²+bx+2中，得：
a+b+2=2，得：b=-a．

（2）①∵二次函數y=ax²+bx+c經過點（1，2）和（-1，0）
可得

a+b+2=2 a-b+2=0

，
解得

a=-1 b=1

，
即y=-x²+x+2，
頂點坐標為（

1

2

，

9

4

）．

②該函數圖象上等距點的坐標即為此函數與函數y₁=x和函數y₂=-x的交點坐標

y=-x2+x+2 y=x

，

y=-x2+x+2 y=-x

，
解得P₁（

2

，

2

）、P₂（-

2

，-

2

）、P₃（1+

3

，-1-

3

）、P₄（1-

3

，

3

-1）．

（3）∵二次函數與x軸正半軸交于點（m，0）且a=-b，
∴a₁m²-a₁m+2=0，即 a₁=

2

m-m2

，
同理 a₂n²-a₂n+2=0，a₂=

2

n-n2

，
故 a₂-a₁=

2

n-n2

-

2

m-m2

=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

，
∵n＞m＞1，故 a₂-a₁=

2(m-n)(1-m-n)

mn(1-m)(1-n)

＞0，
∴a₁＜a₂．

點評：該題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法以及不等式的應用等知識，綜合性較強，屬于基礎知識的綜合考查，難度適中．