Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，拋物線經過點，與直線交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標為的點在直線上方的拋物線上，過點作軸交直線于點，以為直徑的圓交直線于另一點．當點在軸上時，求的周長；

（3）將繞坐標平面內的某一點按順時針方向旋轉，得到，點的對應點分別是．若的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+1；

（2）△DEM的周長= ；

（3）點A1（ ， ）或（﹣， ）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）如圖1，A與E重合，根據直線y=﹣x+1求得與x軸交點坐標可得OA的長，由勾股定理得AB的長，利用等角的三角函數得：sin∠ABO= ，cos∠ABO= ，則可得DE和DM的長，根據M的橫坐標代入拋物線的解析式可得縱坐標，即ME的長，相加得△DEM的周長；

（3）由旋轉可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x+1，所以點O1，A1不可能同時落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當點O1，B1同時落在拋物線上時，根據點O1，B1的縱坐標相等列方程可得結論；

②如圖3，當點A1，B1同時落在拋物線上時，根據點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大 ，列方程可得結論．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+1交y軸于點B，∴B（0，1），

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B和點C（4，﹣2）．∴ ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+1；

（2）如圖1，∵直線y=﹣x+1交x軸于點A，

當y=0時，﹣ x+1=0，x=，∴A（，0），∴OA=，

在Rt△AOB中，∵OB=1，∴AB= ，∴sin∠ABO=，cos∠ABO=，

∵ME∥x軸，

∴∠DEM=∠ABO，

∵以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，

∴∠EDM=90°，

∴DE=MEcos∠DEM=ME，DM=MEsin∠DEM=ME，

當點E在x軸上時，E和A重合，則m=OA=，

當x=時，y=﹣ ×（）2+×+1= ；∴ME=，

∴DE= = ，DM= =，

∴△DEM的周長=DE+DM+ME= = ；

（3）由旋轉可知：O1A1⊥x軸，O1B1⊥y軸，設點A1的橫坐標為x，則點B1的橫坐標為x+1，

∵O1A1⊥x軸，

∴點O1，A1不可能同時落在拋物線上，分以下兩種情況：

①如圖2，當點O1，B1同時落在拋物線上時，

點O1，B1的縱坐標相等，

∴﹣x2+x+1=﹣（x+1）2+（x+1）+1，

解得：x= ，

此時點A1的坐標為（ ， ），

②如圖3，當點A1，B1同時落在拋物線上時，

點B1的縱坐標比點A1的縱坐標大，

﹣x2+x+1+ =﹣（x+1）2+（x+1）+1，

解得：x=﹣，

此時A1（﹣， ），

綜上所述，點A1（ ， ）或（﹣， ）．