Question

【題目】如圖，已知點A（3，0），以A為圓心作⊙A與Y軸切于原點，與x軸的另一個交點為B，過B作⊙A的切線l．

（1）以直線l為對稱軸的拋物線過點A及點C（0，9），求此拋物線的解析式；

（2）拋物線與x軸的另一個交點為D，過D作⊙A的切線DE，E為切點，求DE的長；

（3）點F是切線DE上的一個動點，當△BFD與△EAD相似時，求出BF的長 ．

Answer 1

【答案】（1）y=（x-6）2-3；（2）DE=3；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=6，可設拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，將A，C兩點坐標代入求a，k，即可確定該拋物線的解析式；（2）連接AE，可知∠AED=90°，AE=3 ，因為直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點，所以AB=BD=3， AD=6 ，于是利用勾股定理可求出DE的長；（3）由題意可知，利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似，切線DE上符合條件的F點有兩個，即當BF⊥ED時和FB⊥AD時，利用相似三角形性質即可求出BF的長．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線的對稱軸為直線x=6，∴設拋物線的解析式為y=a （x-6）2+k，∵拋物線經過點A（3，0）和C（0，9），∴將A，C兩點坐標代入得： ，解得：a=，k=-3．∴拋物線的解析式為y=（x-6）2-3；（2）連接AE，∵DE是⊙A的切線，∴∠AED=90°，AE=3 ，∵直線l是拋物線的對稱軸，點A，D是拋物線與x軸的交點，∴AB=BD=3，∴AD=6 ， 在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，∴DE=3；

（3）利用有兩個角對應相等的兩個三角形相似，當BF⊥ED時，∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，∴△AED∽△BFD，∴ ，即，∴BF=．當FB⊥AD時，∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，∴△AED∽△FBD ， ∴ 即BF=，∴當△BFD與△EAD相似時，BF的長為或．