Question

【題目】在ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作ECFG.

(1)如圖1，證明ECFG為菱形；

(2)如圖2,若∠ABC=120°,連接BG、CG,并求出∠BDG的度數：

(3)如圖3,若∠ABC=90°，AB=6,AD=8,M是EF的中點，求DM的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BDG=60°；（3）DM=5

【解析】

（1）平行四邊形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，再根據平行線的性質證明∠CEF=∠CFE，根據等角對等邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形，即可解決問題；
（2）先判斷出∠BEG=120°=∠DCG，再判斷出AB=BE，進而得出BE=CD，即可判斷出△BEG≌△DCG（SAS），再判斷出∠CGE=60°，進而得出△BDG是等邊三角形，即可得出結論；

（3）連接BM，MC，結合題意，根據矩形的判定得到四邊形ABCD和四邊形ECFG為正方形.因為∠BAF=∠DAF，則BE=AB=DC，因為M為EF中點，所以∠CEM=∠ECM=45°，故∠BEM=∠DCM=135°，根據全等三角形的判定(SAS)得到△BME≌△DMC，則由全等三角形的性質可得MB=MD，∠DMC=∠BME.結合題意得到等腰直角三角形.根據勾股定理得到BD=10，故DM=5.

(1)證明：

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC,AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

又∵四邊形ECFG是平行四邊形，

∴四邊形ECFG為菱形；

(2)結論：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC,AB=DC,AD∥BC，

∵∠ABC=120°，

∴∠BCD=60°,∠BCF=120°

由(1)知，四邊形CEGF是菱形，

∴CE=GE,∠BCG=∠BCF=60°，

∴CG=GE=CE,∠DCG=120°，

∵EG∥DF，

∴∠BEG=120°=∠DCG，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠DAE=∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=CD，

∴△BEG≌△DCG(SAS)，

∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，

∴∠BGD=∠CGE，

∵CG=GE=CE，

∴△CEG是等邊三角形，

∴∠CGE=60°，

∴∠BGD=60°，

∵BG=DG，

∴△BDG是等邊三角形，

∴∠BDG=60°；

(3)如圖2中，連接BM，MC，

∵∠ABC=90°，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形，

又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，

∠ECF=90°，

∴四邊形ECFG為正方形.

∵∠BAF=∠DAF，

∴BE=AB=DC，

∵M為EF中點，

∴∠CEM=∠ECM=45°，

∴∠BEM=∠DCM=135°，

在△BME和△DMC中，

∵BE=CD,∠BEM=∠DCM，EM=CM,

∴△BME≌△DMC(SAS)，

∴MB=MD，

∠DMC=∠BME.

∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，

∴△BMD是等腰直角三角形.

∵AB=6，AD=8，則BD==10，∴DM=5.