Question

【題目】如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C、D同時出發，當動點D到達原點O時，點C、D停止運動．

（1）直接寫出拋物線的解析式： ；

（2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式；當t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？

（3）當△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當t=5時，S最大=；（3）存在，P（，）或P（8，0）或P（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點A、B代入拋物線即可求出拋物線的解析式；

（2）根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，然后由點A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出點E的坐標為（﹣2，0），進而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式為：，然后轉化為頂點式即可求出最值為：S最大=；

（3）由（2）知：當t=5時，S最大=，進而可知：當t=5時，OC=5，OD=3，進而可得CD=，從而確定C，D的坐標，即可求出直線CD的解析式，然后過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，然后求出直線EF的解析式，與拋物線聯立方程組解得即可得到其中的一個點P的坐標，然后利用面積法求出點E到CD的距離，過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN等于點E到CD的距離，然后求出N的坐標，再過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，然后求出直線NH的解析式，與拋物線聯立方程組求解即可得到其中的另兩個點P的坐標．

試題解析：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴拋物線的解析式為：，故答案為：；

（2）∵點A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，令y=0，得：，解得：，，∵點E在x軸的負半軸上，∴點E（﹣2，0），∴OE=2，根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，∴OD=8﹣t，∴DE=OE+OD=10﹣t，∴S=DEOC=（10﹣t）t=，即=，∴當t=5時，S最大=；

（3）由（2）知：當t=5時，S最大=，∴當t=5時，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，設直線CD的解析式為：，將C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直線CD的解析式為：，過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，如圖1，

設直線EF的解析式為：，將E（﹣2，0）代入得：b=，∴直線EF的解析式為：，將，與聯立成方程組得：，解得：，或，∴P（，）；

過點E作EG⊥CD，垂足為G，∵當t=5時，S△ECD=CDEG=，∴EG=，過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN=，過點N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，∴，∴EGDN=EDDM，即：DM==，∴OM=，由勾股定理得：MN==，∴N（，），過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，如圖2，設直線NH的解析式為：，將N（，），代入上式得：b=，∴直線NH的解析式為：，將，與聯立成方程組得：，解得：，或，∴P（8，0）或P（，），

綜上所述：當△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標為：P（，）或P（8，0）或P（，）．