Question

【題目】如圖：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

（1）求證：MN=AM+BN．
（2）若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

∵MN=NC+CM，

∴MN=AM+BN

（2）證明：結論：MN=BN﹣AM．

∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC=∠CNB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，

∴∠MAC=∠NCB，

在△AMC和△CNB中，

∠AMC=∠CNB，

∠MAC=∠NCB，

AC=CB，

△AMC≌△CNB（AAS），

AM=CN，MC=NB，

∵MN=CM﹣CN，

∴MN=BN﹣AM

【解析】（1）利用互余關系證明∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，故可證△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，利用線段的和差關系證明結論；（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數量關系．