Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長為厘米，對角線AC上的兩個動點E,F，點E從點A、點F從點C同時出發，沿對角線以1厘米/秒的相同速度運動，過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設HE，EF，FG，GH圍成的圖形面積為，AE，EB，BA圍成的圖形面積為（這里規定：線段的面積為）．E到達C,F到達A停止．若E的運動時間為x秒，解答下列問題：

（1）如圖①，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；

（2）當0<x<8時，求x為何值時，；

（3）若是的和，試用x的代數式表示y．（圖②為備用圖）

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是矩形，證明見解析；（2）6；（3）

【解析】(1)、首先根據動點E、F的運動速度與運動時間均相同得出AE=CF，再由正方形的性質及已知EH⊥AC，FG⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形，然后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形得出結論；(2)、首先由勾股定理求出正方形ABCD的對角線長為16．再連接BD交AC于O，則BO=8．然后用含x的代數式分別表示S1，S2，當S1=S2時得出關于x的方程，解方程即可；(3)、因為當x=8時，點E與點F重合，此時S1=0，y=S2．故應分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．

(1)、四邊形EFGH是矩形，

證明：∵E、F運動時間相同，∴AE=CF，∵⊥，⊥，∴EH//FG ，

∵ABCD為正方形，∴AD=DC，∠D=900，∴∠GCF=∠HAE=450，

又⊥，⊥，∴∠CGF=∠AHE=450，∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE

∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG ，∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∵⊥，∴四邊形EFGH是矩形．

(2)、正方形邊長為，．

，過作于，則．，

，，．

當時，．解得（舍去），． 當時，．

(3)、①當時，．

②當時，，，．

． ．