Question

【題目】中，，，，分別是邊和上的動點，在圖中畫出值最小時的圖形，并直接寫出的最小值為 .

Answer 1

【答案】作圖見解析，

【解析】

作A點關于BC的對稱點A'，A'A與BC交于點H，再作A'M⊥AB于點M，與BC交于點N，此時AN+MN最小，連接AN，首先用等積法求出AH的長，易證△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后設NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的長，A'M的長即為AN+MN的最小值．

如圖，作A點關于BC的對稱點A'，A'A與BC交于點H，再作A'M⊥AB于點M，與BC交于點N，此時AN+MN最小，最小值為A'M的長．

連接AN，

在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，

∴BC=

∵

∴AH=

∵CA⊥AB，A'M⊥AB，

∴CA∥A'M

∴∠C=∠A'NH，

由對稱的性質可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N

在△ACH和△A'NH中，

∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，

∴△ACH≌△A'NH（AAS）

∴A'N=AC=4=AN，

設NM=x，

在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=

在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x

∴AM2=AA'2-A'M2=

∴

解得

此時的最小值=A'M=A'N+NM=4+=