Question

【題目】已知，在中，，點為的中點．

（1）觀察猜想：如圖①，若點、分別為、上的點，且于點，則線段與的數量關系是_______；(不說明理由)

（2）類比探究：若點、分別為、延長線上的點，且于點，請寫出與的數量關系，在圖②中畫出符合題意的圖形，并說明理由；

（3）解決問題：如圖③，點在的延長線上，點在上，且，若，求的長．(直接寫出結果，不說明理由．)

Answer 1

【答案】（1）BE=AF；（2）BE=AF，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）連接AD，根據等腰三角形的性質可得出AD＝BD、∠EBD＝∠FAD，根據同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據全等三角形的性質即可證出BE＝AF；

（2）連接AD，根據等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD＝∠FAD、BD＝AD，根據同角的余角相等可得出∠BDE＝∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據全等三角形的性質即可得出BE＝AF；

（3）過點M作MG∥BC，交AB的延長線于點G，同理證明△BMG≌△NMA，得到AN=GB=1,再根據等腰直角三角形求出AG的長，即可求解.

（1）證明：連接AD，如圖①所示．

∵∠A＝90°，AB＝AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD＝45°．

∵點D為BC的中點，

∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°．

∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF．

（2）BE=AF

理由：如圖②，連結AD，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=(180°-90°)=45°

∵BD=AD，AB=AC，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°，

∴∠BAD=∠ABC，

∴AD=BD

又∠CAD=∠ABC=45°，

∴∠DAF=∠DBE=135°

∵DE⊥DF，

∴∠BDE+∠BDF=90°

又AD⊥BC，

∴∠ADF+∠BDF=90°，

∴∠BDE=∠ADF

在△BDE和△ADF中，

∴△BDE≌△ADF，

∴BE=AF

（3）如圖③，過點M作MG∥BC，交AB的延長線于點G，

∵DA⊥BC，

∴AM⊥GM，

故△AMG為等腰直角三角形

∴GM=AM=2,故AG=2

∵

同（1）理可得△BMG≌△NMA，

∴AN=GB=1,

∴=AG-BG=AG-AN=.