Question

【題目】如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D．

（1）求證：AC與⊙O相切；

（2）已知AB=5，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)OD，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E點(diǎn)．易證△OBD≌△OCE，從而得OE＝OD，從而得證；

（2）連接AO，先利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得AO⊥BC， OB＝BC＝3；然后在Rt△AOB中利用勾股定理求出OA，再利用等積關(guān)系求出OD即可得解．

解：（1）證明：連結(jié)OD，過點(diǎn)O作OE⊥AC于E點(diǎn)，如圖1所示：

∵AB切⊙O于D，

∴OD⊥AB，

∴∠ODB＝∠OEC＝90°，

∵O是BC的中點(diǎn)，

∴OB＝OC，

∵AB=AC

∴

在△OBD和△OCE中，

，

∴△OBD≌△OCE（AAS），

∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，

∴AC與⊙O相切；

（2）連接AO，如圖2所示：

∵OB＝OC，AB=AC

則AO⊥BC，

∴OB＝BC＝3，

∴在Rt△AOB中，OA＝＝＝4，

∴由等積關(guān)系得：OBOA＝ABOD，

∴OD＝＝＝，

即⊙D的半徑為．