Question

【題目】四邊形ABCD的對角線AC將其分割成兩個三角形：

（1）如圖1．若∠BAC=∠DAC，AB＞AD，求證：AB－AD＞CB－CD．

（2）如圖2．若∠ACD+∠BAC=180°，∠B=∠D，求證：BC=AD．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析

【解析】

(1)在線段AB上取一點E，使得AE=AD，結合已知條件可以證得△AEC≌△ADC，根據全等的性質得出線段相等，再利用三角形的三邊關系：任意兩邊之差小于第三邊即可得出結果；

(2) 過點A作AE垂直于DC的延長線于點E，過點C作CF垂直AB于點F，根據已知條件可證得△CFA≌△AEC，從而證得△BCF≌△DAE，即可得出結果．

(1)證明：如圖所示，在線段AB上取一點E，使得AE=AD，

在△AEC和△ADC中

∴△AEC≌△ADC，

∴EC=CD，

∵CB-EC<BE，

∴CB-CD<AB-AE，

∴CB-CD<AB-AD，

∴AB-AD>CB-CD．

(2)證明：如圖所示，過點A作AE垂直于DC的延長線于點E，過點C作CF垂直AB于點F

∵∠ACD+∠BAC=180°，∠ACD+∠ACE=180°，

∴∠BAC=∠ACE，

在△ACE和△ACF中

∴△CFA≌△AEC，

∴CF=AE，

在△BCF和△DAE中

∴△BCF≌△DAE，

∴AD=BC．